两条高线交于一点,那么过交点的另一边与角的连线是不是第三条高怎么证明?麻烦自己画图

Question

两条高线交于一点,那么过交点的另一边与角的连线是不是第三条高
怎么证明?麻烦自己画图

Answer 1

已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此三角形三条高交于一点
法二：三条高AD、BE、CF,其中BE、AD交于H1,CF、AD交于H2
易证△AEH1∽△BEC,△AFH2∽△CBF
有AH1/BC=AE/BE,AH2/BC=AF/CF
又易证△ABE∽△ACF
有AE/BE=AF/CF
这样就有
AH1/BC=AH2/BC
AH1=AH2
因此H1,H2重合,AD、BE、CF三线共点