如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正

Question

如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（　　）

A．((6−3√(3)))/(2)a
B．(6−3√(3))a
C．(5√(3)−8)/(2)a
D．(5√(3)−8)a

Answer 1

大球的半径为(a)/(2)，设小球的半径r，则2√(3)r+2r+a＝√(3)a⇒r＝(√(3)−1)/(2(√(3)+1))a＝(2−√(3))/(2)a
设小球切截面CDE于F，则AF＝(√(3)a−4r−a)/(2)＝(3√(3)−5)/(2)a，
设AC=x，利用等积法求得x＝√(3)AF＝(9−5√(3))/(2)a，所以CH＝a−2AF＝(5√(3)−8)a
故选D．