立体几何平面上有3个互相相切的半径为1球,在上面放一个球与三球都相切的半径为1球,求与四球都相切的球的直径

Question

立体几何
平面上有3个互相相切的半径为1球,在上面放一个球与三球都相切的半径为1球,求与四球都相切的球的直径

Answer 1

3个互相相切的半径为1球,在上面放一个球与三球都相切的半径为1球,将他们的球心都连起来得到一个棱长为2的正四面体.
正四面体的中心到任意一个顶点的长度为R,为外接球半径
外接球半径R是内切球半径r的3倍.
R=3r,
作图即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根号3)a/2]^2
=>r=a/(2根号6)
R=3a/(2根号6) =3/根号6
与四球都相切的球有两种情况一种是一个小球与它们都外切
小球半径为 3/根号6-1 直径为 根号6-2
另一种是一个大球与他们都内切.
大球半径为 3/根号6+1 直径为 根号6+2