将半径为1的四个钢球完全装入正四面体容器里,求这个正四面体高的最小值

Question

将半径为1的四个钢球完全装入正四面体容器里,求这个正四面体高的最小值

Answer 1

边长为a的正四面体,它的内切球的半径是：R=(√6/12)a,这个正四面体的高是(√6/3)a
因本题中的球的半径都是R=1,则此时相当于a=2√6【这里的a对应一个内切球的正四面体】
1、以最高的球为内切球的正四面体的高是h1=(√6/3)×(2√6)=4；
2、则：最高的球的球心到最高的顶点的距离是d=h1－1=4－1=3
3、以四个球心为顶点的正四面体的高是h2=(√6/3)×2=(2√6)/3；
4、最高的顶点到四个球心为顶点的正四面体的最低的底面的距离是D=d＋h2
5、这个大的正四面体的高是：H=D＋R=(d＋h2)＋R=4＋(2√6/3)