利用拉氏变换解方程Y`+Y=sintyo=o

Question

利用拉氏变换解方程Y`+Y=sint yo=o

Answer 1

你是指LAPLACE变换?然后y（0）=0?
如果是这样：
原方程：y'+y=sin(t),y(0)=0
对方程中所有元素进行拉普拉斯变换：L[y(t)](p)=Y(p)
L[y'(t)](p)=pY(p)-y(0+)=pY(p)-y(0)=pY(p)
L[sin(t)](p)=1/(1+p^2)
方程变为 pY+Y=1/(1+p^2)
(p+1)Y=1/(1+p^2)
Y=1/[(1+p^2)(1+p)]=(-1/2)p/(p^2+1)+(1/2)/(p^2+1)+(1/2)/(p+1)
再反用Y来计算y：对于多项式Y的每一项拉普拉斯的逆转化：
L(-1)[(-1/2)p/(p^2+1)](t)=(-1/2)L(-1)[p/(p^2+1)](t)=(-1/2)cos(t)
L(-1)[(1/2)/(p^2+1)](t)=(1/2)L(-1)[1/(p^2+1)](t)=(1/2)sin(t)
L(-1)[(1/2)/(p+1)](t)=(1/2)L(-1)[1/(p+1)](t)=(1/2)exp(-t)
所以综上所述得到y(t)=(-1/2)cos(t)+(1/2)sin(t)+(1/2)exp(-t)