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设n≥2,n∈N*,有序数组(a1,a2,…,an)经m次变换后得到数组(bm,1,bm,2,…,bm,n),其中b1,i=ai+ai+1,bm,i=bm-1,i+bm-1,i+1(i=1,2,…,n),an+1=a1,bm-1,n+1=bm-1,1(m≥2).例如:
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设n≥2,n∈N*,有序数组(a1,a2,…,an)经m次变换后得到数组(bm,1,bm,2,…,bm,n),其中b1,i=ai+ai+1,bm,i=bm-1,i+bm-1,i+1(i=1,2,…,n),an+1=a1,bm-1,n+1=bm-1,1(m≥2).例如:有序数组(1,2,3)经1次变换后得到数组(1+2,2+3,3+1),即(3,5,4);经第2次变换后得到数组(8,9,7).
(1)若ai=i(i=1,2,…,n),求b3,5的值;
(2)求证:bm,i=
ai+jCmj,其中i=1,2,…,n.
(注:i+j=kn+t时,k∈N*,i=1,2,…,n,则ai+j=a1)
(1)若ai=i(i=1,2,…,n),求b3,5的值;
(2)求证:bm,i=
m |
j=0 |
(注:i+j=kn+t时,k∈N*,i=1,2,…,n,则ai+j=a1)
▼优质解答
答案和解析
(1)依题意(1,2,3,4,5,6,7,8,…,n),
第一次变换为(3,5,7,9,11,13,15,…,n+1),
第二次变换为(8,12,16,20,24,28,…,n+4),
第三次变换为(20,28,36,44,52,…,n+12),
∴b3,5=52,
(2)用数学归纳法证明:对m∈N*,bm,i=
ai+jCmj,其中i=1,2,…,n,
(i)当m=1时,b1,i=
ai+jC1j,其中i=1,2,…,n,结论成立,
(ii)假设m=k时,k∈N*时,bk,i=
ai+jCkj,其中i=1,2,…,n,
则m=k+1时,bk+1,i=bk,i+bk,i+1=
ai+jCkj+
ai+j+1Ckj=
ai+jCkj+
ai+j+1Ckj-1,
=aiCk0+
ai+j(Ckj+Ckj-1)+ai+k+1Ckk,
=aiCk+10+
ai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1,
=
ai+jCk+1j,
所以结论对m=k+1时也成立,
由(i)(ii)可知,对m∈N*,bm,i=
ai+jCmj,其中i=1,2,…,n成立
第一次变换为(3,5,7,9,11,13,15,…,n+1),
第二次变换为(8,12,16,20,24,28,…,n+4),
第三次变换为(20,28,36,44,52,…,n+12),
∴b3,5=52,
(2)用数学归纳法证明:对m∈N*,bm,i=
m |
j=0 |
(i)当m=1时,b1,i=
1 |
i=0 |
(ii)假设m=k时,k∈N*时,bk,i=
k |
j=0 |
则m=k+1时,bk+1,i=bk,i+bk,i+1=
k |
j=0 |
k |
j=0 |
k |
j=0 |
k+1 |
j=0 |
=aiCk0+
k |
j=0 |
=aiCk+10+
k |
j=0 |
=
k+1 |
j=0 |
所以结论对m=k+1时也成立,
由(i)(ii)可知,对m∈N*,bm,i=
m |
j=0 |
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