已知圆O的直径AB的长度是十进制的两位整数,把两个数字交换位置,就是与AB垂直的弦CD的长度,且交点H到圆O的距离是个正有理数,求AB的长.

Question

已知圆O的直径AB的长度是十进制的两位整数,把两个数字交换位置,就是与AB垂直的弦CD的长度,且交点H到圆O的距离是个正有理数,求AB的长.

Answer 1

连接BC,则△ACH和△CBH相似,CH/AH=BH/CH CH^2=AH×BH=(AB-BH)BH……(1)
假设AB=10a+b 则CH=1/2CD=1/2(10b+a) 代入（1）式,
整理,得：BH^2-(10a+b)BH+[1/2(10b+a)]^2=0 方程
交点H到圆O的距离是个正有理数,直径也是整数,所以BH同样是正有理数.
由方程 [-(10a+b)]^2-4×1×[1/2(10b+a)]^2要大于0,并且是完全平方数.
[-(10a+b)]^2-4×1×[1/2(10b+a)]^2
=(10a+b)^2-(10b+a)^2=99（a+b）×（a-b）
因为a.b都是一位数,要使99（a+b）×（a-b）是完全平方数,
只有 （a+b）×（a-b）=11 a+b=11 a-b=1 a=6 b=5
所以AB=65