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已知:如图,在锐角△ABC中,BD,CE分别是△ABC的AC,AB边上的高,在CE上截取CP=AB,过点P作PG⊥BC于G点,在BD的延长线上截取BQ=AC,过点Q作QF⊥BC于F点,求证:PG+QF=BC.
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已知:如图,在锐角△ABC中,BD,CE分别是△ABC的AC,AB边上的高,在CE上截取CP=AB,过点P作PG⊥BC于G点,在BD的延长线上截取BQ=AC,过点Q作QF⊥BC于F点,求证:PG+QF=BC.


▼优质解答
答案和解析
证明:如图,作AM⊥BC于M.

∵CE⊥AB,PG⊥BC,AM⊥BC,
∴∠AMB=∠PGC=∠CEB=90°,
∴∠BAM+∠ABM=90°,∠ABM+∠PCG=90°,
∴∠BAM=∠PCG,
在△PCG和△BAM中,
,
∴△PCG≌△BAM(AAS),
∴PG=BM,
同理可证△BQF≌△ACM,
∴CM=FQ,
∴PG+QF=BM+CM=BC.

∵CE⊥AB,PG⊥BC,AM⊥BC,
∴∠AMB=∠PGC=∠CEB=90°,
∴∠BAM+∠ABM=90°,∠ABM+∠PCG=90°,
∴∠BAM=∠PCG,
在△PCG和△BAM中,
|
∴△PCG≌△BAM(AAS),
∴PG=BM,
同理可证△BQF≌△ACM,
∴CM=FQ,
∴PG+QF=BM+CM=BC.
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