已知：如图，在锐角△ABC中，BD，CE分别是△ABC的AC，AB边上的高，在CE上截取CP=AB，过点P作PG⊥BC于G点，在BD的延长线上截取BQ=AC，过点Q作QF⊥BC于F点，求证：PG+QF=BC．

Question

已知：如图，在锐角△ABC中，BD，CE分别是△ABC的AC，AB边上的高，在CE上截取CP=AB，过点P作PG⊥BC于G点，在BD的延长线上截取BQ=AC，过点Q作QF⊥BC于F点，求证：PG+QF=BC．

Answer 1

证明：如图，作AM⊥BC于M．

∵CE⊥AB，PG⊥BC，AM⊥BC，
∴∠AMB=∠PGC=∠CEB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，∠ABM+∠PCG=90°，
∴∠BAM=∠PCG，
在△PCG和△BAM中，

∠PCG=∠BAM

∠PGC=∠AMB

PC=AB

，
∴△PCG≌△BAM（AAS），
∴PG=BM，
同理可证△BQF≌△ACM，
∴CM=FQ，
∴PG+QF=BM+CM=BC．