观察数列：①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；③(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数

Question

观察数列：

① ； ② 正整数依次被 4 除所得余数构成的数列 ；

③

(1) 对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列 ，如果 ________________________ ，对于一切正整数 都满足 ___________________________ 成立，则称数列 是以 为周期的周期数列；

(2) 若数列 满足 为 的前 项和，且 ，证明 为周期数列，并求 ；

(3) 若数列 的首项 ，且 ，判断数列 是否为周期数列，不用证明 .

Answer 1

解析： (1) 存在正整数 ；

  (2) 证明：由

             

              所以数列 是以 为周期的周期数列

       由

       于是   w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

       又 ，

       所以，

      (3) 当 =0 时， 是周期数列，因为此时 为常数列，所以对任意给定的正整数 及任意正整数 ，都有 ，符合周期数列的定义 .

        当 时， 是递增数列，不是周期数列 .