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据某城市2002年末所作的统计资料显示,到2002年末,该城市堆积的垃圾已达50万吨,侵占了大量的土地,并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测,从2003年起该城市还将以每年3万吨

题目详情
据某城市2002年末所作的统计资料显示,到2002年末,该城市堆积的垃圾已达50万吨,侵占了大量的土地,并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测,从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾,垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.
(1)假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨,从1993年到2002年这十年中,该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长,试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨?(精确到0.01,参考数据:1.08 10 ≈2.159)
(2)如果从2003年起,该市每年处理上年堆积垃圾的20%,现有b 1 表示2003年底该市堆积的垃圾数量,b 2 表示2004年底该市堆积的垃圾数量…b n 表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量,①求b 1 ;②试归纳出b n 的表达式(不用证明);③计算
lim
n→∞
b n ,并说明其实际意义.
▼优质解答
答案和解析
(1)设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨.依题意,得
10+x+1.08x+1.08 2 x++1.08 9 x=50,
1- 1.08 10
1-1.08
•x=40.
∴x=
0.08
1.08 10 -1
×40≈2.76万吨.
∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨.
(2)①b 1 =50×80%+3=43(万吨).
②∵b 1 =50×80%+3=50×
4
5
+3,
b 2 =
4
5
b 1 +3=50×(
4
5
2 +3×
4
5
+3,
b 3 =
4
5
b 2 +3=50×(
4
5
3 +3×(
4
5
2 +3×
4
5
+3,
∴可归纳出b n =50×(
4
5
n +3×(
4
5
n-1 +3×(
4
5
n-2 ++3×
4
5
+3
=50×(
4
5
n +3×
1- (
4
5
) n
1-
4
5
=50×(
4
5
n +15[1-(
4
5
n ]=35×(
4
5
n +15.
lim
n→∞
b n =
lim
n→∞
[35×(
4
5
n +15]=15.
这说明,按题目设想的方法处理垃圾,该市垃圾总量将逐年减少,但不会少于15万吨.