据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一．根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨

Question

据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一．根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题．
（1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.08 ¹⁰ ≈2.159）
（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b ₁ 表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b ₂ 表示2004年底该市堆积的垃圾数量…b _n 表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求b ₁ ；②试归纳出b _n 的表达式（不用证明）；③计算

lim

n→∞

b _n ，并说明其实际意义．

Answer 1

（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨．依题意，得
10+x+1.08x+1.08 ² x++1.08 ⁹ x=50，
∴ (1- 1.0810)/(1-1.08) •x=40．
∴x= (0.08)/(1.0810 -1) ×40≈2.76万吨．
∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨．
（2）①b ₁ =50×80%+3=43（万吨）．
②∵b ₁ =50×80%+3=50× (4)/(5) +3，
b ₂ = (4)/(5) b ₁ +3=50×（ (4)/(5) ） ² +3× (4)/(5) +3，
b ₃ = (4)/(5) b ₂ +3=50×（ (4)/(5) ） ³ +3×（ (4)/(5) ） ² +3× (4)/(5) +3，
∴可归纳出b _n =50×（ (4)/(5) ） ⁿ +3×（ (4)/(5) ） ^n-1 +3×（ (4)/(5) ） ^n-2 ++3× (4)/(5) +3
=50×（ (4)/(5) ） ⁿ +3× (1- ((4)/(5))n)/(1-(4)/(5)) =50×（ (4)/(5) ） ⁿ +15[1-（ (4)/(5) ） ⁿ ]=35×（ (4)/(5) ） ⁿ +15．
③

lim

n→∞

b _n =

lim

n→∞

[35×（ (4)/(5) ） ⁿ +15]=15．
这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨．