再用拉格朗日配方法将二次型变换为标准形时,万一有平方项是2倍的怎么办?比如f=x1^2+2x2^2+2x1x2-2x1x3.这个二次型对于x2的平方来说,前面是2倍的,怎么办呢?后面构造一个+x1^2-x1^2的话,不是多出一

Question

再用拉格朗日配方法将二次型变换为标准形时,万一有平方项是2倍的怎么办?比如f
=x1^2+2x2^2+2x1x2-2x1x3.这个二次型对于x2的平方来说,前面是2倍的,怎么办呢?后面构造一个+x1^2-x1^2的话,不是多出一个x2^2吗?

Answer 1

这个问题的第一步是
f=x1^2+2x2^2+2x1x2-2x1x3 ＝x1^2+2x1(x2-x3 )+2x2^2
=x1^2+2x1(x2-x3 )+(x2-x3)^2+2x2^2-(x2-x3)^2
=(x1+x2-x3)^2+x2^2-2x2x3-x3^2(以下是第二步)
=(x1+x2-x3)^2+x2^2-2x2x3+x3^2-2x3^2
=(x1+x2-x3)^2+(x2-x3)^2-2x3^2
令y1=x1+x2-x3,y2=x2-x3,y3=x3即可.
自己看看,你的配完全平方和我的有什么不同?你一定能看出来的.