如图,在△ABC中,∠BCA=60°,D在AC的延长线上,2CD=AC,∠CDB=45°,求证:∠ABC=45°

Question

如图,在△ABC中,∠BCA=60°,D在AC的延长线上,2CD=AC,∠CDB=45°,求证:
∠ABC=45°

Answer 1

过B作BE⊥AD于点E,有AB²=AE²+BE²
∵∠CDB=45°
∴∠DBE=45°,BE=DE=CD+CE
∵∠ACB=60°
∴BE=√3CE
∴CD=（√3-1）CE
∵AC=2CD
∴AE=AC-CE=2（√3-1）CE-CE=2（√3-3/2）CE
∵AB²=AE²+BE²
∴AB=√（AE²+BE²）=√{[2（√3-3/2）CE]²+（√3CE）²}=√[12（2-√3）CE²]=√6（√3-1）CE
∵AB/sin∠ACB=AC/sin∠ABC
∴sin∠ABC=sin∠60°*AC/AB=√3/2*[2（√3-1）CE]/[√6（√3-1）CE]= √2/2
∵0°