（2012•昌平区二模）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射中一次得2分，

Question

（2012•昌平区二模）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分； 在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是(1)/(4)和p（0＜p＜1）．
（Ⅰ） 若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率；
（Ⅱ） 我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得（3分）”为事件N，
则事件M与事件N为对立事件，
P(M)＝

C

0 3

•((1)/(4))0•(1−(1)/(4))3＝(27)/(64)…（2分）
P(N)＝1−P(M)＝1−(27)/(64)＝(37)/(64)…（4分）
（Ⅱ） 设选手甲在A区射击的得分为ξ，
则ξ的可能取值为0，3，6，9.P(ξ＝0)＝(1−(1)/(4))3＝(27)/(64)；
P(ξ＝3)＝

C

1 3

•(1)/(4)•(1−(1)/(4))2＝(27)/(64)；
P(ξ＝6)＝

C

2 3

((1)/(4))2(1−(1)/(4))＝(9)/(64)；
 P(ξ＝9)＝((1)/(4))3＝(1)/(64)

ξ	0	3	6	9
P	(27)/(64)	(27)/(64)	(9)/(64)	(1)/(64)

所以ξ的分布列为∴Eξ＝0×(27)/(64)+3×(27)/(64)+6×(9)/(64)+9×(1)/(64)＝(9)/(4)
设选手甲在B区射击的得分为η，
则η的可能取值为0，2，4．P（η=0）=（1-p）²；
P(η＝2)＝

C

1 2

•p•(1−p)＝2p(1−p)；
P（η=4）=p²
所以η的分布列为

η	0	2	4
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

∴Eη=0×（1-p）²+2•2p（1-p）+4•p²=4p
根据题意，有  Eη＞Eξ，
∴4p＞(9)/(4)，
∴