已知F2（-2，0），F2（2，0），点P满足||PF1|-|PF2||=2，记点P的轨迹为E．（1）求轨迹E的方程；（2）若过点F2的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点

Question

已知F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（m，0），问：无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，
∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线．
∵F₂（-2，0），F₂（2，0），
∴c=2
∵a=1，∴b²=c²-a²=3
∴轨迹方程为x2−(y2)/(3)＝1；
（2）假设存在点M（m，0），使得无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2−3≠0

△＞0

x1+x2＝(4k2)/(k2−3)＞0

x1•x2＝(4k2+3)/(k2−3)＞0

解得k²＞3．
∵

MP

•

MQ

＝(x1−m)(x2−m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=((k2+1)(4k2+3))/(k2−3)−(4k2(2k2+m))/(k2−3)+m2+4k2
=(3−(4m+5)k2)/(k2−3)+m2．
∵

MP

•

MQ

＝0，
∴3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴

1−m2＝0

m2−4m−5＝0

，解得m=-1．
∴当m=-1时，

MP

•

MQ

＝0．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，

MP

•

MQ

＝0．