矩阵对角化一个矩阵A=00111X100x为何值时A能对角化?答案是λ为1时,有两个线性无关的特征向量,然后再求x.但是对角化的充分必要条件是A有N个线性无关的特征向量,这道题就应该是有3个啊.

Question

矩阵对角化
一个矩阵A= 0 0 1
1 1 X
1 0 0 x为何值时A能对角化?
答案是λ为1时,有两个线性无关的特征向量,然后再求x.但是对角化的充分必要条件是A有N个线性无关的特征向量,这道题就应该是有3个啊.那么λ为什么还要取1呢?

Answer 1

|A-λE| =
-λ 0 1
1 1-λ x
1 0 -λ

= (1-λ)(λ+1)(λ-1)

所以A的特征值为 1,1,-1 (与x无关)

A可对角化的充分必要条件是k重特征值有k个线性无关的特征向量

所以A可对角化特征值1有两个线性无关的特征向量
所以 r(A-E) = 3-2 = 1.
所以 x = -1.