证明A与B可交换（即AB=BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵（即(AB)^T=AB）考试题目求助要求详细过程和解释

Question

证明 A与B可交换（即AB=BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵（即(AB)^T=AB）
考试题目 求助 要求详细过程和解释

Answer 1

题目根本就是错的，A取单位阵，B取任意非对称阵，那么AB非对称但AB=BA。
一定要加一个条件A和B本身都是对称阵才有结论。
若AB=BA，则(AB)^T=(BA)^T=A^TB^T=AB。
反之，若(AB)^T=AB，则AB=B^TA^T=BA。