设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

Answer 1

证明：如图因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（(p)/(2)，0），
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+(p)/(2)；
代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0，
若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂是该方程的两个根，
所以y₁y₂=-p²．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-(p)/(2)上，
所以点c的坐标为（-(p)/(2)，y₂），
故直线CO的斜率为k=(y2)/(-(p)/(2))=(2p)/(y1)=(y1)/(x1)．
即k也是直线OA的斜率，
当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．
所以直线AC经过原点O．