高一的数学题帮帮忙高分悬赏如图所示,在△AOB中,向量OA=a,向量OB=b,点P在直线AB上,且满足向量OP=2tPA+tOB(t属于R）,求PA的模/PB的模的值要具体步骤,可以追加10分

Question

高一的数学题帮帮忙 高分悬赏
如图所示,在△AOB中,向量OA=a,向量OB=b,点P在直线AB上,且满足向量OP=2tPA+tOB(t属于R）,求PA的模/PB的模的值
要具体步骤,可以追加10分

Answer 1

答案：1:2
由题得：向量PA=向量OA-向量OP
因为,向量OA=a,向量OB=b,向量OP=2tPA+tOB ( 这里,PA是指向量PA,OB是指向量OB)
所以,向量PA=a-(2tPA+tb)
由题知：1+2t≠0 ,(如果,1+2t=0,则,a+(-t)b=0 即：向量a,向量b共线,与题设矛盾!)
所以,向量PA=[1/(1+2t)]a+[-t/(1+2t)]b ( 这里,a是指向量a,b是指向量b)
又因为,向量PB=向量OB-向量OP=b-[2tPA+tOB ]=b-2t{[1/(1+2t)]a+[-t/(1+2t)]b}-tb
=[-2t/(1+2t)]a+[(1+t)/(1+2t)]b
因为,向量PA、向量PB共线
所以,存在实数k(k≠0),使得：向量PA=k*向量PB
即：[1/(1+2t)]a+[-t/(1+2t)]b=k*{[-2t/(1+2t)]a+[(1+t)/(1+2t)]b}
所以,[(1+2kt)/(1+2t)]a+{[-t-(1+t)k]/(1+2t)}b=0
因为,由题知,向量a、向量b 不共线
所以,[(1+2kt)/(1+2t)]=0,{[-t-(1+t)k]/(1+2t)}=0
即：1+2kt=0,-t-(1+t)k=0
消去k 得：2t²-t-1=0 即：(t-1)(2t+1)=0
解之,t=1 或t=-1/2(不合题意舍去)
所以,向量PA=(1/3)*(a-b) ( 这里,a是指向量a,b是指向量b)
向量PB=(-2/3)*(a-b) ( 这里,a是指向量a,b是指向量b)
所以,|向量PA|/| 向量PB|=|(1/3)*(a-b)|/|(-2/3)*(a-b) |=1/2
所以,|向量PA|/| 向量PB|=1:2