双曲线中取值范围问题若点o和点f(-2,0)分别是双曲线：x平方除以a平方减y平方=1,且a大于0,的中心和左焦点,点p为双曲线右支上任意一点,求op向量与fp向量乘机的取值范围

Question

双曲线中取值范围问题
若点o和点f(-2,0)分别是双曲线：x平方除以a平方减y平方=1,且a大于0,的中心和左焦点,点p为双曲线右支上任意一点,求op向量与fp向量乘机的取值范围

Answer 1

由题设知,双曲线焦点在x轴上
b=1,c=2,=> a^2=c^2-b^2=4-1=3,=> a=√3
∴ 双曲线方程为 x^2/3-y^2=1
设右支上点P(m,n),则m^2/3-n^2=1,(m>0) => n^2=m^2/3-1
向量OP=(m,n),向量FP=向量OP-向量OF=(m+2,n)
向量OP*向量FP=m(m+2)+n^2
=m^2+2m+m^2/3-1=f(m)
=4/3*(m^2+3m/2)-1
=4/3*(m+3/4)^2-1-3/4
=4/3*(m+3/4)^2-7/4
≥-7/4
当m=-3/4时,取得极小值；但m>0,此时f(m)=f(0)=-1
∴f(m)的取值范围为(-1,+∞)