两数相加为定值,为什么当两数相等时乘积最大?比如a+b=100,则当a=b=50时,ab=2500最大

Question

两数相加为定值,为什么当两数相等时乘积最大?
比如a+b=100,则当a=b=50时,ab=2500最大

Answer 1

这是一个很重要的不等式,即ab≤(a+b)^2 /4,当且仅当a=b时等号成立.
它的得来比较简单,由(a-b)^2≥0,当且仅当a=b时等号成立得
a^2+b^2≥2ab,于是又有a^2+b^2+2ab≥4ab,进而得
ab≤(a+b)^2 /4,当且仅当a=b时等号成立.