已知函数f（x）=x4+（a-x）x2+（5-a）对任意实数x恒为正值，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x⁴+（a-x）x²+（5-a）对任意实数x恒为正值，求实数a的取值范围．

Answer 1

令f′（x）=4x³-3x²+2ax=0，得x=0或4x²-3x+2a=0
当x=0时f（x）=5-a＞0得a＜5；
当4x²-3x+2a=0，当a≤(9)/(32)时即x=(3±√(9−32a))/(8)；当a＞(9)/(32)，方程无解．
当x＞(3+√(9−32a))/(8)或x＜(3−√(9−32a))/(8)时，f′（x）＞0，函数为增函数；当(3+√(9−32a))/(8)＞x＞(3−√(9−32a))/(8)时，函数为减函数，因为函数f（x）=x⁴+（a-x）x²+（5-a）对任意实数x恒为正值则f（x）_min=f（(3+√(9−32a))/(8)）＞0；
所以a＜5时，函数对任意实数x恒为正数．