（2013•崇明县二模）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|xx2+1-a|+2a+23，x∈[0，24]，

Question

（2013•崇明县二模）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时） 的关系为f（x）=|(x)/(x2+1)-a|+2a+(2)/(3)，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，(1)/(2)]．
（1）令t=(x)/(x2+1)，x∈[0，24]，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数M（a）是否超标？

Answer 1

（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]．
证明：任取0≤x₁＜x₂≤1，t（x₁）-t（x₂）=((x1−x2)(1−x1x2))/((1+x12)(1+x22))，
∵0≤x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴((x1−x2)(1−x1x2))/((1+x12)(1+x22))＜0，∴t（x₁）-t（x₂）＜0．
所以函数t（x）在[0，1]上为增函数．（同理可证在区间[1，24]单调递减）
（2）由函数的单调性知t_max（x）=t（1）=(1)/(2)，t_min（x）=t（0）=0，
∴t=(x)/(x2+1)=(1)/(x+(1)/(x))∈[0，(1)/(2)]，∴t的取值范围是[0，(1)/(2)]．
当a∈[0，(1)/(2)]时，由于f（x）=|(x)/(x2+1)-a|+2a+(2)/(3)，则可记g（t）=|t-a|+2a+(2)/(3)
则g（t）=

−t+3a+(2)/(3)，0≤t≤a

t+a+(2)/(3)，a＜t≤(1)/(2)

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，(1)/(2<作业帮用户2016-12-12举报问题解析（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]，利用单调性的定义可以证明；（2）先确定t的取值范围是[0，(1)/(2)]，再进行分类讨论，从而可得M（a）的解析式；（3）利用分段函数，可得当(1)/(4)＜a≤(4)/(9)时不超标，从而可得结论．名师点评本题考点：函数模型的选择与应用．考点点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、考查求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)