矩阵正交化不就是改变了特征向量了吗,属于特定特征值的特征向量不是唯一的吗,求指教

Question

矩阵正交化不就是改变了特征向量了吗,属于特定特征值的特征向量不是唯一的吗,求指教

Answer 1

特征向量一般来讲不是唯一的,但是特征子空间一定是唯一的,所以
1.对于单特征值而言,特征向量在相差一个非零常数倍的情况下唯一
2.对于重特征值而言,特征子空间可能包含多个线性无关的特征向量
绝大多数情况下特征向量 不需要 也不可以 做正交化
如果两个特征向量属于不同的特征值,且不正交,那么做正交化之后一定会破坏第二个特征向量,因为特征向量在一定的意义下（看上面）是唯一的；而如果原来的两个特征向量正交,那就是天然的正交,也没必要再正交化了
当多个特征向量对应于同一个重特征值的时候才可以做正交化（是否有必要是另一回事）,这相当于找特征子空间的正交基,一般情况下这个操作没有额外的价值,只有当原来的矩阵是正规阵的时候才有构造酉变换的用途