求矩阵(0,1,1；1,0,1；1,1,0；)的特征向量和特征值.

Question

求矩阵(0,1,1；1,0,1；1,1,0；)的特征向量和特征值.

Answer 1

特征方程为
|-t 1 1|
| 1 -t 1| = 0
| 1 1 -t|
即为
-t^3 +3t + 2 = 0,
因式分解得
-（t-2）（t+1）^2 = 0
因此特征值为 2,-1,-1.
特征值 2 所对应的特征向量
通过求解方程组
-2 x + y + z = 0
x - 2y + z = 0
x + y - 2z = 0
解得特征向量为 (1 1 1).
特征值 -1 所对应的特征向量
通过求解方程组
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0
解得特征向量为 （1 -1 0）,（1 1 -2）
特征向量是通过求解齐次线性方程组非零解得到的,
齐次线性方程组非零解不唯一,而因此特征向量不唯一.