如图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，其中MN和是间距为h的两平行极板，极板间存在方向向上的匀强电场，极

Question

如图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，其中MN和是间距为h的两平行极板，极板间存在方向向上的匀强电场，极板上分别由正对的两个小孔O和 ，P为靶点，（k为大于1的整数）。质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经进入磁场区域。当粒子打到极板上区域（含点）或外壳上时会被吸收，两虚线之间的区域（除极板）无电场和磁场存在，粒子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：

（1）两极板间电压U为多大时，粒子经过电场仅加速一次后能打到P点；

（2）能使粒子打到P点，两极板间电压U所满足的条件；

（3）打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中的运动时间

Answer 1

（1）离子在电场中做直线加速运动，根据动能定理，有

在磁场中，根据牛顿第二定律，有

其中，联立三式可得

（2）若电压较小，离子经过一次加速后速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打到P点，再进入到下端磁场，将重新回到O点重新弄加速，直到打到P点，设粒子共加速了n次，

根据动能定理，有

在磁场中，根据牛顿第二定律有，其中，联立解得，

要求离子第一次加速后不能打在板上，有，，，联立可得

所以

加速次数n为正整数最大取

即（n=1 2 3 4……，）

（3）加速次数越多，离子的速度越大，能量越大，故时，电压最小，加速次数最多，离子在磁场中做了n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P点。

离子在磁场中运动的周期

离子在磁场中运动的时间

离子在电场中一共加速n次，可等效连续的匀加速直线运动，由运动学公式，

其中，

联立可得