如图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,其中MN和是间距为h的两平行极板,极板间存在方向向上的匀强电场,极
如图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,其中MN和
是间距为h的两平行极板,极板间存在方向向上的匀强电场,极板上分别由正对的两个小孔O和
,P为靶点,
(k为大于1的整数)。质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速,经
进入磁场区域。当粒子打到极板上
区域(含
点)或外壳上时会被吸收,两虚线之间的区域(除极板)无电场和磁场存在,粒子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求:

(1)两极板间电压U为多大时,粒子经过电场仅加速一次后能打到P点;
(2)能使粒子打到P点,两极板间电压U所满足的条件;
(3)打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间
和在电场中的运动时间![]()
(1)离子在电场中做直线加速运动,根据动能定理,有![]()
在磁场中,根据牛顿第二定律,有![]()
其中
,联立三式可得![]()
(2)若电压较小,离子经过一次加速后速度较小,圆周运动半径较小,不能直接打到P点,再进入到下端磁场,将重新回到O点重新弄加速,直到打到P点,设粒子共加速了n次,
根据动能定理,有![]()
在磁场中,根据牛顿第二定律有
,其中
,联立解得
,
要求离子第一次加速后不能打在板上,有
,
,
,联立可得![]()
所以![]()
加速次数n为正整数最大取![]()
即
(n=1 2 3 4……,
)
(3)加速次数越多,离子的速度越大,能量越大,故
时,电压最小,加速次数最多,离子在磁场中做了n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P点。
离子在磁场中运动的周期![]()
离子在磁场中运动的时间![]()
离子在电场中一共加速n次,可等效连续的匀加速直线运动,由运动学公式
,![]()
其中
,![]()
联立可得![]()
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