取一个自然数n1=5,计算n1的平方+1得a1；算出a1的各个数字之和得n2,计算n2的平方+1得a2；算出a2的各个数字之和得n3.计算n3的平方+1得a3；.以此类推,问a2008是多少?

Question

取一个自然数n1=5,计算n1的平方+1得a1；算出a1的各个数字之和得n2,计算n2的平方+1得a2；算出a2的各个数字之和得n3.计算n3的平方+1得a3；.以此类推,问a2008是多少?

Answer 1

n1=5,a1=(n1)^2+1=26
n2=8,a2=(n1)^2+1=65
n3=11,a3=(n3)^2+1=122
n4=5,a4=(n4)^2+1=26
n2=8,a5=(n1)^2+1=65
n3=11,a6=(n3)^2+1=122
n4=5,a7=(n4)^2+1=26
n2=8,a8=(n1)^2+1=65
n3=11,a9=(n3)^2+1=122.故猜想,an是以周期T=3重复,即n=3k+i(k,i∈n,且k≥1,i≤3)时,an=ai用数学归纳法证明：k=0时,n=i,由上面演算知此时猜想成立k=1时,n=i,由上面演算知此时猜想成立k=2时,n=i,由上面演算知此时猜想成立假设k=n'时,猜想仍成立若,n=3n'+1,则：an=a1=26,此时,i=1即：N=5,an=a(3n'+1)=a1=26N=8,an+1=a(3n'+2)=a2=65N=11,an+2=a(3n'+3)=a3=122N=5,an+3=a(3n'+4)=a[3(n'+1)+1]=a1=26N=8,an+4=a(3n'+5)=a[3(n'+1)+2]=a2=65N=11,an+5=a(3n'+6)=a[3(n'+1)+3]=a3=122∴此时,对k=n'+1时,猜想仍成立同理可推得,i=2,i=3的情况下,a(3n'+2)=a[3(n'+1)+2],a(3n'+3)=a[3(n'+1)+3]即k=n'+1时,an=a[3(k+1)+i]=ai,猜想成立∴a2008=a(2007+1)=a(3*669+1)=a1=26