数列中的奇偶数列｛an｝中的相邻两项an,a(n+1)是关于x的方程x^2+3nx+cn+9*n^2/4=0(n∈N＊)2个根,a1=1,求c1+c2+c3+…+c2000的值

Question

数列中的奇偶
数列｛an｝中的相邻两项an,a(n+1)是关于x的方程x^2+3nx+cn+9*n^2/4=0(n∈N＊)2个根,a1=1,求c1+c2+c3+…+c2000的值

Answer 1

an+a(n+1)=-3n
an*a(n+1)=cn+9*n^2/4
a2=-3-a1=-4
[an+(3/2)n]+[a(n+1)+(3/2)(n+1)]=3/2
设bn=an+(3/2)n,b1=a1+(3/2)=5/2,b2=a2+3=-1
bn+b(n+1)=3/2
b(n-1)+bn=3/2
两式相减：
b(n+1)-b(n-1)=0
所以错项相等,邻项之和为3/2
b(2k-1)=b1=5/2
b(2k)=b2=-1
a(2k-1)+(3/2)(2k-1)=b(2k-1)=5/2
a(2k)+(3/2)(2k)=b(2k)=-1
a(2k-1)=-(3/2)(2k-1)+5/2=-3k+4
a(2k)=-(3/2)(2k)-1=-3k-1
当n=2k-1时,
an*a(n+1)=a(2k-1)*a(2k)
=(-3k+4)(-3k-1)
=9k^2-9k-4
=c(2k-1)+9*(2k-1)^2/4
c(2k-1)=-9*(2k-1)^2/4+9k^2-9k-4=-25/4
当n=2k时,
an*a(n+1)=a(2k)*a(2k+1)
=(-3k-1)(-3k+1)
=9k^2-1
=c(2k)+9*(2k)^2/4
=c(2k)+9*k^2
c(2k)=-9*k^2+9k^2-1=-1
所以
c1+c3+……+c(2k-1)+……+c1999=1000(-25/4)=-6250
c2+c4+……+c(2k)+……+c2000=1000(-1)=-1000
所以
c1+c2+c3+…+c2000=[c1+c3+……+c(2k-1)+……+c1999]+[c2+c4+……+c(2k)+……+c2000]
=-6250-1000
=-7250