某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图）.PA=100mPB=150m∠APB=60°，试说明怎样运土才能最省工？

Question

某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图）.PA=100 m PB=150 m ∠APB=60°，试说明怎样运土才能最省工？

Answer 1

以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设M是分界线上的点，则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是有

|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.

这说明这条分界线是以A、B为焦点的双曲线的右支.

在△APB中，由余弦定理，得

|AB| ² =|AP| ² +|PB| ² -2|AP|·|PB|·cos60°=17 500

从而a=25 c ² = =4 375，b ² =c ² -a ² =3 750.

所以所求分界线方程为 =1(x≥25).

于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P点，右侧的土沿BP运到P点最省工.