某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．

Question

某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．

Answer 1

以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，
∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50．
在△PAB中，由余弦定理得
|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|．
由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）．
∵2a=50，4c²=17500，c²=a²+b²，
解之得a²=625，b²=3750．
∴M点轨迹是(x2)/(625)-(y2)/(3750)=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧．
于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．