已知函数f（x）=ex-ax（a∈R）．（I）当a=1时，求证：f（x）≥1；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，其中x1<x2，求a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，求证：x1+x2>2．

Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（I） 当a=1时，求证：f（x）≥1；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，其中x₁<x₂，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，求证：x₁+x₂>2．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=e^x-x，f'（x）=e^x-1．
f'（x）>0⇔x>0；f'（x）<0⇔x<0．
所以f（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，
所以，f（x）_min=f（0）=1，当且仅当x=0时取等号．
（2）由f（x）=e^x-ax，得f'（x）=e^x-a
当a<0时，f（x）在R上为增函数，
函数f（x）醉倒有一个零点，不符合题意，所以a>0．
当a>0时，f'（x）=e^x-a=e^x-e^lna
f'（x）<0⇔x0⇔x>lna；
所以f（x）在（-∞，lna）上为减函数，在（lna，+∞）上为增函数；
所以f（x）_min=f（lna）=a-alna；
若函数f（x）有两个零点，则f（lna）<0⇒a>e；
当a>e时，f（0）=1>0，f（1）=e-a<0；
f（3a）=（e^a）³-3a²>0；
由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一个零点．
结合函数f（x）的单调性，当a>e时，函数f（x）有且仅有两个零点，
所以，a的取值范围为（e，+∞）．
（3）由（2）得a>e，012；
由ex1=ax₁，ex2=ax₂ 得x₁=lna+lnx₁，x₂=lna+lnx₂；
所以x₂-x₁=lnx2-lnx1=ln(x2)/(x1)；
设(x2)/(x1)=t （t>1），则

x2=tx1

x2-x1=lnt

，解得x1=(lnt)/(t-1)，x2=(tlnt)/(t-1)；
所以x₁+x₂=((t+1)lnt)/(t-1)
当t>1时，x₁+x₂>2⇔((t+1)lnt)/(t-1)>2⇔lnt-(2(t-1))/(t+1)>0；
设h（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)，则h'（t）=((t-1)2)/(t(t+1)2)，当t>1时，h'（t）>0；
于是h（t）在（1，+∞）上为增函数；
所以，当t>1时，h（t）>h（1）=0，即lnt-(2(t-1))/(t+1)>0；
所以x₁+x₂>2．