设函数f(x)=-1/3乘以x的3次方+x的平方+(a的平方-1),其中a>0(1)若函数y=f(x)在x=-1处取得极值,求a的值(2)已知函数f(x)有3个不同的零点,分别为0,x1,x2,且x1f(1)恒成立,求a的取值范围

Question

设函数f(x)=-1/3乘以x的3次方+x的平方+(a的平方-1),其中a>0 (1)若函数y=f(x)在x=-1处取得极值,求a的值
(2)已知函数f(x)有3个不同的零点,分别为0,x1,x2,且x1f(1)恒成立,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=-1/3x³+x²+(a²-1)x ,(a>0)
(1)
f'(x)=-x²+2x+(a²-1)
∵函数y=f(x)在x=-1处取得极值
∴f'(1)=0即-1+2+(a²-1)=0
∴a²=0,
∴a=0
(2)
f(x)=-1/3x³+x²+(a²-1)x
=-1/3x[x²-3x-3(a²-1)]
f(x)有3个不同的零点,分别为0,x1,x2,且x10,Δ=9+12(a²-1)>0==>a>1/2
那么,x1+x2=3,x1x2=-3(a²-1)
∵任意的x属于[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立
∴1