三道数学题（积分题和最值问题)1.在曲面z=√(x^2+y^2)上求一点,使得该点到点（1,√2,3√3）的距离最短.2.求积分∫▒（ye^(1/y)+e^(1/y)）dy.3.求微分方程y''–y=x^3的通解.(y''为y的二阶

Question

三道数学题（积分题和最值问题)
1.在曲面z = √(x^2+ y^2 ) 上求一点,使得该点到点
（1,√2 ,3√3）的距离最短.
2.求积分∫▒（ye^(1/y) + e^(1/y) ）dy.
3.求微分方程y'' – y = x^3 的通解.(y''为y的二阶导数)

Answer 1

设该点（x,y,z）到点（1,√2 ,3√3）的距离为d
则d^2=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2
又z = √(x^2+ y^2 )
属于条件极值,使用拉格朗日二乘法.构造函数：
F(x,y,z)=(x-1)^2+(y-√2)^2+(z-3√3)^2+λ(√(x^2+ y^2)-z)
则令
Fx'(x,y,z)=2(x-1)+λx/√(x^2+ y^2)=0
Fy'(x,y,z)=2(y-√2)+λy/√(x^2+ y^2)=0
Fz'(x,y,z)=2(z-3√3)-λ=0
而z = √(x^2+ y^2 )
解得：x=...,y=...,z=...
2.看不清积分区间,我只是求出不定积分,
题目是不是有问题?
∫（ye^(1/y) -e^(1/y) ）dy
分部积分=1/2y^2e^(1/y)
3.对应的齐次方程为：y''–y,特征方程为：
r^2-1=0,解得r=-1,1
所以通解为：y=c1e^x+c2e^(-x)
比较右边形式,可设y=a1x^3+a2x^2+a3x+a4
则y''-y=6a1x+2a2-(a1x^3+a2x^2+a3x+a4)=x^3
则-a1x^3+a2x^2+（-a3+6a1)x+2a2-a4=x^3
则a1=-1,a2=0,a3=-6,a4=0
所以y=-6x-x^3
所以通解为：
y=c1e^x+c2e^(-x)-6x-x^3