（2014•江苏模拟）某国庆纪念品，每件成本为30元，每卖出一件产品需向税务部门上缴a元（a为常数，4≤a≤6）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，当35≤x≤40时日销售量与（1e

Question

（2014•江苏模拟）某国庆纪念品，每件成本为30元，每卖出一件产品需向税务部门上缴a元（a为常数，4≤a≤6）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，当35≤x≤40时日销售量与（(1)/(e)）^x（e为自然对数的底数）成正比．当40≤x≤50时日销售量与x²成反比，已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．记该商品的日利润为L（x）元．
（1）求L（x）关于x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价x为多少元时，才能使L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

（1）当35≤x≤40时，由题意得日销售量为k₁((1)/(e))x，
售价为40元时，日销售量为10件，故k₁((1)/(e))40=10，k₁=10e⁴⁰
当40≤x≤50时，由题意日销售量为(k2)/(x2)
售价为40元时，日销售量为10件，故(k2)/(1600)=10，k₂=16000
所以该商品的日利润L（x）=

(x−30−a)•(10e40)/(ex)，35≤x＜40

(x−30−a)•(16000)/(x2)，40≤x＜50

．
（2）当35≤x≤40时，L(x)＝(x−30−a)(10e40)/(ex)
L′(x)＝10e40(31+a−x)/(ex)，4≤a≤6，35≤31+a≤37，
因为35≤x≤40，令L'（x）=0得x=a+31
当35≤x≤a+31时L'（x）＞0
当a+31≤x≤40时L'（x）＜0
故L_max（x）=L（a+31）=10e^9-a
当40≤x≤50时，L(x)＝(x−30−a)(16000)/(x2)
显然L（x）在40≤x≤50时，
L′(x)＝(16000(x2−(x−30−a)2x))/(x4)=(16000(−x2+(60+2a)x))/(x4)=(16000(60+2a−x))/(x3)＞0
所以L（x）在40≤x≤50时为增函数
故40≤x≤50时L_max（x）=L（50）
又L（a+31）=10e^9-a≥10e³L(50)＝

作业帮用户 2017-10-28 举报

问题解析

（1）设出35≤x≤40时，日销售量为k₁(

(32)/(5)(1)/(e))x，40≤x≤50时，日销售量为(k2)/(x2)，再由条件求出比例系数，从而得到该商品的日利润L（x）；
（2）运用导数分别求出35≤x≤40时，40≤x≤50时函数的最大值，再加以比较，即可得到所求的最大值．

名师点评

本题考点：

分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题考查分段函数的运用，考查函数的解析式的求法，考查运用导数求函数的最值，属于中档题．

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