在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，3），点C在坐标平面内，以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C的个数为（）A．3B．4

Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，√(3)），点C在坐标平面内，以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C的个数为（　　）

A．3
B．4
C．5
D．6

Answer 1

（1）当AB是底边时，则点C可能位于AB的两侧，就有两个满足条件的三角形，
（2）∵点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，√(3)），
∴tan∠ABO=(OA)/(OB)=(1)/(√(3))=(√(3))/(3)，
∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，
①若AB=AC，点C在y轴上，则点C可以为（0，-√(3)）；
若AB=AC，点C在x轴上，则点C为（3，0）；
②过点A作x轴的垂线，如图1：
AB=BC，则C（1，2√(3)）；
③过点A作∠OAB的角平分线，过点B作BC∥OA交AC于点C，
则C（-2，√(3)）；
④如图3，作AB的垂直平分线，
若∠ABC=30°，则点C在y轴上，
∴点C₅（0，(√(3))/(3)）；
若∠CAB=30°，
则CA⊥x轴，
∴点C₆（1，(2√(3))/(3)）；
∴点C为（0，-√(3)），（3，0），（1，2√(3)），（-2，2√(3)），（0，(√(3))/(3)），（1，(2√(3))/(3)）．
故选D．