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在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.(1)直接写出A、B、C、D的坐标:A,B,C,D;(2)若点P在抛
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(1)直接写出A、B、C、D的坐标:A______,B______,C______,D______;
(2)若点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)令y=0,则x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
∴点A、B的坐标分别为A(1,0),B(3,0),
令x=0,则y=3,
∴点C的坐标为C(0,3),
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴顶点为D(2,-1);
(2)∵B(3,0),C(0,3),
=
,
A′D=
=
,
CD=
=
,
∴A′C2+A′D2=CD2,
∴△A'DC是等腰直角三角形,
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA′+∠OCD=45°;
方法二:如图,连接BD,∵B(3,0),C(0,3),D(2,-1),
∴∠CBO=∠OBD=45°,
∴∠CBD=90°,
∴∠CBD=∠COA,
又∵
=
=
,
=
=
,
∴
=
,
∴△CBD∽△COA,
∴∠BCD=∠OCA,
∴∠OCA+∠OCD=45°.
解得x1=1,x2=3,
∴点A、B的坐标分别为A(1,0),B(3,0),
令x=0,则y=3,
∴点C的坐标为C(0,3),
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴顶点为D(2,-1);
(2)∵B(3,0),C(0,3),


A′D=


CD=


∴A′C2+A′D2=CD2,
∴△A'DC是等腰直角三角形,
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA′+∠OCD=45°;
方法二:如图,连接BD,∵B(3,0),C(0,3),D(2,-1),
∴∠CBO=∠OBD=45°,
∴∠CBD=90°,
∴∠CBD=∠COA,
又∵






∴


∴△CBD∽△COA,
∴∠BCD=∠OCA,
∴∠OCA+∠OCD=45°.
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