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如图,在同一直角坐标系中,正比例函数y=kx与反比例函数y=23x的图象分别交于第一、三象限的点B,D,已知点A(-a,O)、C(a,0).(1)直接判断并填写:四边形ABCD的形状一定是;(2

题目详情
如图,在同一直角坐标系中,正比例函数y=kx与反比例函数y=
2
3
x
的图象分别交于第一、三象限的点B,D,已知点A(-a,O)、C(a,0).
(1)直接判断并填写:四边形ABCD的形状一定是______;
(2)①当点B为(p,2)时,四边形ABCD是矩形,试求p,k,和a的值;
②观察猜想:对①中的a值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必说理)
(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能,直接写出B点的坐标;若不能,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)是平行四边形.
理由如下:
∵A(-a,0)、C(a,0),
∴OA=OC,
由对称性可知OB=OD,
∴四边形ABCD为平行四边形;
故答案为:平行四边形;

(2)①∵点B为(p,2),
2
3
p
=2,
解得:p=
3

∴点B(
3
,2),
3
k=2,
解得:k=
2
3
3

∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OB=
1
2
AC,OC=
1
2
BD,
∴OB=OC,
∵OB=
(
3
)2+22
=
作业帮用户 2016-11-22 举报
问题解析
(1)四边形ABCD为平行四边形,理由为:由A与C的坐标得到OA与OC相等,又根据对称的性质得到OB与OD相等,然后根据对角线平分的四边形为平行四边形得证;
(2)①把点B(p,2)代入反比例函数的解析式,即可求得p的值,然后代入正比例函数y=kx,即可求得k的值,又由四边形ABCD是矩形,可得OB=OC,即可求得a的值;
②由a=
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,即可确定出A与C的坐标,又根据矩形的对角线互相平分且相等,得到OB与OC相等都等于
7
,设出点B的坐标为(x,y),代入到反比例解析式中得到一个方程,由两点的距离公式,列出另一个方程,两方程联立即可求出x与y的值,进而得出点B的坐标;
(3)利用反证法来证,先假设四边形ABCD是菱形,根据菱形的对角线互相平分且互相垂直,得到AC与BD垂直,又A与C在x轴上,故B与D在y轴上,与双曲线y=
2
3
x
不与坐标轴相交矛盾,则可证得四边形ABCD不能是菱形.
名师点评
本题考点:
反比例函数综合题.
考点点评:
此题考查了平行四边形、矩形的性质,反证法以及一次函数与反比例函数的综合.要求学生掌握平行四边形及矩形的性质,理解反证法的步骤,综合运用所学知识,培养了学生发现问题,分析问题及解决问题的能力.学生在作第二问,求B坐标时注意B点在第一象限这个条件.其中反证法的步骤为:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证的定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.
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