如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的

Question

如图，在直角坐标系中，已知点P ₀ 的坐标为（1，0），将线段OP ₀ 按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP ₀ 的2倍，得到线段OP ₁ ；再将线段OP ₁ 按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP ₁ 的2倍，得到线段OP ₂ ；如此下去，得到线段OP ₃ ，OP ₄ ，…，OP _n （n为正整数）
（1）求点P ₆ 的坐标；
（2）求△P ₅ OP ₆ 的面积；
（3）我们规定：把点P _n （x _n ，y _n ）（n=0，1，2，3，…）的横坐标x _n 、纵坐标y _n 都取绝对值后得到的新坐标（|x _n |，|y _n |）称之为点P _n 的“绝对坐标”．根据图中点P _n 的分布规律，请你猜想点P _n 的“绝对坐标”，并写出来．

Answer 1

（1）根据旋转规律，点P ₆ 落在y轴的负半轴，而点P _n 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P ₆ （0，-2 ⁶ ），即P ₆ （0，-64）；

（2）由已知可得，△P ₀ OP ₁ ∽ △P ₁ OP ₂ ∽ △P _n-1 OP _n ．
设P ₁ （x ₁ ，y ₁ ），则y ₁ =2sin45°=

2

，
∴ S △ P 0 O P 1 = (1)/(2) ×1×

2

= (2)/(2) ，
又∵ (O P6)/(O P1) =32 ，
∴ (S△ P5 O P6)/(S△ P0 O P1) =((32)/(1) ) 2 =1024 ，
∴ S △ P 5 O P 6 =1024×(2)/(2) =512

2

；

（3）由题意知，OP ₀ 旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点P _n 分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P _n 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，
①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点P _n 落在x轴上，此时，点P _n 的绝对坐标为（2 ⁿ ，0）；
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点P _n 落在各象限的平分线上，此时，点P _n 的绝对坐标为（ (2)/(2) ×2 ⁿ ， (2)/(2) ×2 ⁿ ），即（2 ^n-1

2

，2 ^n-1

2

）；
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点P _n 落在y轴上，
此时，点P _n 的绝对坐标为（0，2 ⁿ ）．