坐标变换为什么能使积分简便为什么在一个坐标系中不好积分,在另一个坐标系中就好积分了?有什么哲学原因么?坐标系又是什么?

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坐标变换为什么能使积分简便
为什么在一个坐标系中不好积分,在另一个坐标系中就好积分了?有什么哲学原因么?坐标系又是什么?

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答案和解析

我们应该把坐标系和数学对象（比如函数图像）本身分开看.如果一个空间没有坐标系,这个图像还会在那个空间里,加上坐标系只是为了用分析的方法描述它的性质.粗略地说坐标系是一个空间中,任意一点的某个开邻域到Rn空间中的某个开集的同胚映射,就是存在一个连续双射f,且其逆映射f^(-1)也连续.这个f就把空间中的某点及其开邻域和Rn中的某个开集一一对应起来,而Rn中的元素就是一个n元数组,也就相当于坐标了.
还有其他的一些要求,都是为了进一步的需要,比如各个坐标映射之间要满足一定的可微性.
至于坐标变换会让积分简单,我觉得和变元的数量减少有关.换个坐标系,变元数量能减少1个甚至两个,积分自然会简单许多.因为在另一个坐标系中,被积区域的某个坐标可能相同；或者关于某个坐标对称,使得可以分离变量.这样都会使变元数量减少.

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