如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=22．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；（3）求二面角D-AB-O

Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2√(2)．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D-AB-O余弦值．

Answer 1

（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．
又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴DO=(1)/(2)BD=2．
∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=(1)/(2)AB=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．
∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）作OE⊥AB于E，连结DE，由（2）知OD⊥平面ABC，所以OD⊥AB．
∵OD、OE是平面ODE内的相交直线，∴AB⊥平面ODE．
∵DE⊂平面ODE，∴AB⊥DE．
可得∠DEO就是二面角D-AB-O的平面角．
在Rt△DOE中，OD=2，EO=(OA×OB)/(AB)=√(3)，DE=√(OD2+EO2)=√(7)，
∴cos∠DEO=(OE)/(DE)=(√(21))/(7)，即二面角D-AB-0的余弦值为(√(21))/(7)．