已知边长为2的菱形ABCD，如图（a）所示，∠BAD=60°，过D点作DE⊥AB于E点，现沿着DE折成一个直二面角，如图（b）所示；（1）求AC与BD所成角的余弦值；（2）求点D到平面ABC的距离；（3）连接CE

Question

已知边长为2的菱形ABCD，如图（a）所示，∠BAD=60°，过D点作DE⊥AB于E点，现沿着DE折成一个直二面角，如图（b）所示；
（1）求AC与BD所成角的余弦值；
（2）求点D到平面ABC的距离；
（3）连接CE，在CE上取点G，使EG=(2√(7))/(7)，连接BG，求证：AC⊥BG．

Answer 1

（1）以E点为原点，以EA为x轴，EB为y轴，ED为z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，2，√(3))，D(0，0，√(3))
∴

AC

＝(−1，2，√(3))，

BD

＝(0，−1，√(3))∴

AC

•

BD

＝1
而|

AC

|＝2

作业帮用户 2016-11-19 举报

问题解析

（1）以E点为原点，以EA为x轴，EB为y轴，ED为z轴建立空间直角坐标系，分别求向量

AC

与

BD

，最后根据向量的夹角公式可求出AC与BD所成角的余弦值；
（2）先求平面ABC的一个法向量

n

，以及向量

DB

，设D到平面ABC的距离为d，然后根据d＝(n•DB)/(|n|)进行求解；
（3）先求出点G的坐标，然后根据向量

BG

与

AC

的数量积为0，判定AC与BG垂直．

名师点评

本题考点：

向量语言表述线线的垂直、平行关系；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题主要考查了利用空间向量的方法解决立体几何问题，同时考查了计算能力，属于中档题．

扫描下载二维码

©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议