在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，求：（1）直线PA与底面ABCD所成的角；（2）四棱锥P-ABCD的体积．

Question

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，
求：（1）直线PA与底面ABCD所成的角；
（2）四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD，
得PO⊥AO，PO⊥BO，
所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，
所以∠PBO=60°，且∠PAO是PA与平面ABCD所成的角．（4分）
因为底面ABCD是菱形，O是对角线的交点，∠DAB=60°
所以△AOB是直角三角形，
且∠BAO=30°，（5分）
（2）在Rt△AOB中，BO=ABsin∠BAO=2sin30°=1，AO=ABcos∠BAO=√(3)（7分）
于是在Rt△POB中，得PO=BOtan60°=√(3)，
所以在Rt△POA中，tan∠PAO=(PO)/(AO)=1，∠PAO=45°，
所以PA与平面ABCD所成的角为45°（9分）
而底面菱形的面积为S=AB×ADsin60°=2√(3)．
所以四棱锥P-ABCD的体积V=(1)/(3)×2√(3)×PO＝(2√(3))/(3)×√(3)=2．（13分）