直线把梯形分成面积相等的两部分在直角梯形ABCD中,∠C=∠D=90°,AD=4,BC=CD=2,两平行边AD.BC上各有一个动点P、Q,直线PQ把梯形分成面积相等的两部分,直线是否过定点.是,求出定点.不是,说明理由

Question

直线把梯形分成面积相等的两部分
在直角梯形ABCD中,∠C=∠D=90°,AD=4,BC=CD=2,两平行边AD.BC上各有一个动点P、Q,直线PQ把梯形分成面积相等的两部分,直线是否过定点.是,求出定点.不是,说明理由

Answer 1

结论是过定点
设DP=p CQ=q
以D为坐标原点 直线DA DC为 x y轴建立一个坐标系
各点坐标A（4,0） B （2,2） C (0,2) D(0,0)
P(p,0) Q (q,2)
俩梯形的高相等 面积相等 则各自上下底之和相等
CQ+DP=QB+PA
即 p+q=(4-p)+(2-q)
得到 p=3-q
直线PQ的方程
用点斜式表达 y/(x-p)=2/(q-p)
把p=3-q带入
化简 得到 （2-2y)p-2x+3y=0
想得到定点 则p的系数应该为0
得到y=1 x=3/2
这就是这条直线过的定点（3/2,1)
用平面几何的语言表达 就是梯形内到CD AD距离分别为3/2 1的这个点