如图，圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4．（1）求弦BD的长；（2）设点P是弧BCD上的一动点（不与B，D重合）分别以PB，PD为一边作正三角形PBE、正三角形PDF，求这两个正三角形面

Question

如图，圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4．
（1）求弦BD的长；
（2）设点P是弧BCD上的一动点（不与B，D重合）分别以PB，PD为一边作正三角形PBE、正三角形PDF，求这两个正三角形面积和的取值范围．

Answer 1

（1）由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD
在△CDB中 BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
∴20-16cos∠BAD=52-48cos∠BCD
∵cos∠BCD=-cos∠BAD∴64cos∠BAD=-32，cos∠BAD=-(1)/(2)，
∴∠BAD=120°
代入上式可得，BD2＝20−16×(−(1)/(2))＝28
∴DB＝2√(7)（6分）
（2）设∠PBD=θ，θ∈0，120°）(PB)/(sin(120°−θ))＝(PD)/(sinθ)＝(2√(7))/(sin60°)
y＝(28√(3))/(3)[sin2θ+sin2(120°−θ)]（8分）
=(14√(3))/(3)[2+sin(2θ−30°)]（10分）
∵sin(2θ−30°)∈(−(1)/(2)，1]
∴y∈(7√(3)，14√(3)]（12分）