如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F．（1）求证：CF与⊙O相切．（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之

Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F．

（1）求证：CF与⊙O相切．
（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比．

Answer 1

（1）证明：
连接OE，DE，
∵OD=OE，CE=CD，
∴∠ODE=∠OED，∠CDE=∠CED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ODE+∠CDE=90°，
∴∠OED+∠CED=90°，
即OE⊥CF，
∵OE为半径，
∴CF与⊙O相切．
（2）
过F作FM⊥DC于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB=CE=4，∠FAD=∠ADM=∠FMD=∠FMC=90°，
∴四边形ADMF是矩形，
∴AD=FM=4，AF=DM
∵∠OAF=90°，OA为半径，
∴AF切⊙O于A，CF切⊙O于E，
∴AF=EF，
设AF=EF=x，DM=x，
在Rt△FMC中，由勾股定理得：FM²+MC²=CF²，
4²+（4-x）²=（4+x）²，
x=1，
∴AF=EF=DM=1，
∴CF=4+1=5，
∴△BCF的周长是BC+CF+BF=4+5+4-1=12，
直角梯形ADCF的周长是AD+DC+CF+AF=4+4+5+1=14，
∴△BCF和直角梯形ADCF的周长之比是12：14=6：7．