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如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.(1)求证:FD∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD;(3)求二面角B—FC—G的正切值.
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如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点. (1)求证:FD∥平面ABC; (2)求证:AF⊥BD; (3) 求二面角B—FC—G的正切值. |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)证明见解析(Ⅲ) |
证:(1)∵F、G分别为EB、AB的中点, ∴FG= EA,又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC, ∴四边形FGCD为平行四边形,∴FD∥GC,又GC 面ABC, ∴FD∥面ABC. (2)∵AB=EA,且F为EB中点,∴AF⊥EB ① 又FG∥EA,EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC,AB边的中点,∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD ② 由①、②知AF⊥面EBD,又BD 面EBD,∴AF⊥BD. (3)由(1)、(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF. 过G作GH⊥FC,垂足为H,连HB,∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角. 易求 . |
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