如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上

Question

如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作后剩余图形的总面积为a_n．

（1）求a₁、a₂；
（2）欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的(1)/(4)，问至少经过多少次操作？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和S_n．

Answer 1

（1）a1=(3)/(4)，a2=(9)/(16)…（（4分），每个2分）
（2）因为{a_n}是以(3)/(4)为首项，以(3)/(4)为公比的等比数列，
所以a_n=((3)/(4))n…（6分）
由((3)/(4))n<(1)/(4)，得3ⁿ<4^n-1…（7分）
因为3¹>4⁰，3²>4¹，3³>4²，3⁴>4³，3⁵<4⁴，
所以当n=5时，((3)/(4))n<(1)/(4)…（8分）
所以至少经过5次操作，可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的(1)/(4)…（9分）
（3）设第n次操作挖去b_n个三角形，
则{b_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
即bn=3n-1…（11分）
所以所有三角形上所贴标签上的数字的和S_n=1×1+2×3+…+n×3^n-1…（13分）
则3S_n=1×3+2×3²+…+n×3ⁿ，
两式相减，得-2S_n=（1+3+3²+…+3^n-1）-n×3ⁿ=(3n-1)/(2)-n×3n，
故S_n=((n)/(2)-(1)/(4))×3n+(1)/(4)…（14分）