正方形ABCD内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于．

Question

正方形ABCD内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于______．

Answer 1

四边形ABCD为正方形，PA=1，PB=2，PC=3，
把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD，把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD，连PE，PF，如图，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
而∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
而∠ADC=90°，
∴∠EDF=180°，即E，D，F共线；
由旋转的性质得到△APE，△CPF均为等腰直角三角形，并且ED=PB=2，DF=PB=2，
∴S _△APE = (1)/(2) ×1×1= (1)/(2) ；S _△CPF = (1)/(2) ×3×3= (9)/(2) ，
在△PEF中，PE=

2

，PF=3

2

，EF=4，
∴PF ² =PE ² +EF ² ，
∴△PEF为直角三角形，∠PEF=90°，
∴S _△PEF = (1)/(2) ×EP×EF= (1)/(2) ×

2

×4=2

2

，
∴S _{正方形ABCD} =S _{五边形APCFE} =S _△PEF +S _△APE +S _△CPF =2

2

+5．
故答案为2

2

+5．