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已知在平行四边形ABCD中,∠DAB=45°.求证：AC*2·BD*2=AB*4+AD*4
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已知在平行四边形ABCD中,∠DAB=45°.求证：AC*2·BD*2=AB*4+AD*4
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答案和解析
∠CDA=180°-∠DAB=45°=135°
AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CDcosCDA=AD^2+CD^2+√2*AD*CD
BD^2=AD^2+AB^2-2*AD*ABcosDAB=AD^2+AB^2-√2*AD*AB
AB=CD
AC^2*BD^2
=(AD^2+AB^2+√2*AD*AB)(AD^2+AB^2-√2*AD*AB)
=(AD^2+AB^2)^2-(√2*AD*AB)^2
=AD^4+2AD^2*AB^2+AB^4-2AD^2*AB^2
=AD^4+AB^4
AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CDcosCDA=AD^2+CD^2+√2*AD*CD
BD^2=AD^2+AB^2-2*AD*ABcosDAB=AD^2+AB^2-√2*AD*AB
AB=CD
AC^2*BD^2
=(AD^2+AB^2+√2*AD*AB)(AD^2+AB^2-√2*AD*AB)
=(AD^2+AB^2)^2-(√2*AD*AB)^2
=AD^4+2AD^2*AB^2+AB^4-2AD^2*AB^2
=AD^4+AB^4
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