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(2006•芜湖)一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,AB与CD是平行的,且水平,BC与水平面的夹角为60°,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出
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(2006•芜湖)一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,AB与CD是平行的,且水平,BC与水平面的夹角为60°,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度.
▼优质解答
答案和解析
(1)以圆心为轨迹找路线,一一画出.
(2)根据此轨迹求线段,求弧长最后相加.
【解析】
如下图,画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象.
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1,线段O1O2,圆弧3,线段O3O4四部分构成.
其中O1E⊥AB,O1F⊥BC,O2C⊥BC,O3C⊥CD,O4D⊥CD.
∵BC与AB延长线的夹角为60°,O1是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心位置,
∴此时⊙O1与AB和BC都相切.
则∠O1BE=∠O1BF=60度.
此时Rt△O1BE和Rt△O1BF全等,
在Rt△O1BE中,BE=cm.
∴OO1=AB-BE=(60-)cm.
∵BF=BE=cm,
∴O1O2=BC-BF=(40-)cm.
∵AB∥CD,BC与水平夹角为60°,∴∠BCD=120度.
又∵∠O2CB=∠O3CD=90°,
∴∠O2CO3=60度.
则圆盘在C点处滚动,其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧.
∴的长=×2π×10=πcm.
∵四边形O3O4DC是矩形,
∴O3O4=CD=40cm.
综上所述,圆盘从A点滚动到D点,其圆心经过的路线长度是
(60-)+(40-)+π+40=(140-+π)cm.
(2)根据此轨迹求线段,求弧长最后相加.
【解析】
如下图,画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象.
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1,线段O1O2,圆弧3,线段O3O4四部分构成.
其中O1E⊥AB,O1F⊥BC,O2C⊥BC,O3C⊥CD,O4D⊥CD.
∵BC与AB延长线的夹角为60°,O1是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心位置,
∴此时⊙O1与AB和BC都相切.
则∠O1BE=∠O1BF=60度.
此时Rt△O1BE和Rt△O1BF全等,
在Rt△O1BE中,BE=cm.
∴OO1=AB-BE=(60-)cm.
∵BF=BE=cm,
∴O1O2=BC-BF=(40-)cm.
∵AB∥CD,BC与水平夹角为60°,∴∠BCD=120度.
又∵∠O2CB=∠O3CD=90°,
∴∠O2CO3=60度.
则圆盘在C点处滚动,其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧.
∴的长=×2π×10=πcm.
∵四边形O3O4DC是矩形,
∴O3O4=CD=40cm.
综上所述,圆盘从A点滚动到D点,其圆心经过的路线长度是
(60-)+(40-)+π+40=(140-+π)cm.
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