一个圆被分成n个扇形,现有红黄绿三色,给扇形涂色,相邻的所涂颜色不同,共有几种涂法?

Question

一个圆被分成n个扇形,现有红黄绿三色,给扇形涂色,相邻的所涂颜色不同,共有几种涂法?

Answer 1

1）模型： 将n个扇形按顺时针编号：1,2,.,n. 每个扇形放1,2,3.相邻的数字不同. 2）设An首尾两数相同且固定后相邻的数字不同的放法, Bn首尾两数不同且固定后相邻的数字不同的放法, 3）显然B2=B3=1,且 An=2B（n-1）,Bn=A（n-1）+B（n-1） 所以Bn=B（n-1）+2B（n-2）,得 Bn+B（n-1）=2[B（n-1）+B（n-2）]=2^(n-3)[B3+B2]=2^(n-2), 所以Bn=2^(n-2)-B（n-1）=2^(n-2)-2^(n-3)+2^(n-4)-.+（-1）^(n-2)= =[2^(n-1)-（-1）^(n-1)]/3. 4）个圆被分成n个扇形,现有红黄绿三色,给扇形涂色,相邻的所涂颜色不同, 共有3!Bn=2[2^(n-1)-（-1）^(n-1)]种涂法. （其中首尾两数不同有3!种选法）